Информация к новости
  • Просмотров: 28054
  • Автор: PavlovAlexey
  • Дата: 2-01-2016, 18:33
2-01-2016, 18:33

Расчет металлической фермы

Категория: Расчет конструкций


Определение внутренних усилий фермы

Зачастую у нас нету возможности применить обычную балку для того или иного строения, и мы вынуждены применять более сложную конструкцию, которая называется ферма.

Расчет металлической фермы хоть и отличается от расчета балки, но нам не составит труда ее рассчитать. От вас будет требоваться лишь внимание, начальные знания алгебры и геометрии и час-два свободного времени.

Итак, начнем. Перед тем, как рассчитывать ферму, давайте зададимся какой-нибудь реальной ситуацией, с который вы бы могли столкнуться. Например, вам необходимо перекрыть гараж шириной 6 метров и длиной 9 метров, но ни плит перекрытия, ни балок у вас нету. Только металлические уголки различных профилей. Вот из них мы и будем собирать нашу ферму!

В последующем на ферму будут опираться прогоны и профнастил. Опирание фермы на стены гаража – шарнирное.

Расчет металлической фермы

Для начала вам необходимо будет узнать все геометрические размеры и углы вашей фермы. Здесь нам и понадобится наша математика, а именно - геометрия. Углы находим при помощи теоремы косинусов.

Расчет металлической фермы


Расчет металлической фермы

Затем нужно собрать все нагрузки на вашу ферму (посмотреть можно в статье Расчет навеса). Пусть у вас получился следующий вариант загружения:

Расчет металлической фермы

Далее нам нужно пронумеровать все элементы, узлы фермы и задать опорные реакции (элементы подписаны зеленым, а узлы голубым).

Расчет металлической фермы

Чтобы найти наши реакции, запишем уравнения равновесия усилий на ось y и уравнение равновесия моментов относительно узла 2.

Ra+Rb-100-200-200-200-100=0;
200*1,5 +200*3+200*4,5+100*6-Rb*6=0;

Из второго уравнения находим опорную реакцию Rb:

Rb=(200*1,5 +200*3+200*4,5+100*6) / 6;
Rb=400 кг

Зная, что Rb=400 кг, из 1-ого уравнения находим Ra:

Ra=100+200+200+200+100-Rb;
Ra=800-400=400 кг;

После того, как опорные реакции известны, мы должны найти узел, где меньше всего неизвестных величин (каждый пронумерованный элемент - это неизвестная величина). С этого момента мы начинаем разделять ферму на отдельные узлы и находить внутренние усилия стержней фермы в каждом из этих узлов. Именно по этим внутренним усилиям мы и будем подбирать сечения наших стержней.

Если получилось так, что усилия в стержне направлены от центра, значит наш стержень стремится растянуться (вернуться в первоначальное положение), а значит сам он сжат. А если усилия стержня направлены к центру, значит стержень стремится сжаться, то есть он растянут.


Итак, перейдем к расчету. В узле 1 всего 2 неизвестных величины, поэтому рассмотрим этот узел (направления усилий S1 и S2 задаем из своих соображений, в любом случае у нас по итогу получится правильно).

Расчет металлической фермы

Рассмотрим уравнения равновесия на оси х и у.

S2 * sin82,41 = 0; - на ось х
-100 + S1 = 0; - на ось y

Из 1-ого уравнения видно, что S2=0, то есть 2-ой стержень у нас не загружен!

Из 2-ого уравнения видно, что S1=100 кг.

Поскольку значение S1 у нас получилось положительным, значит направление усилия мы выбрали правильно! Если же оно бы получилось отрицательным, то направление стоит поменять и знак изменить на «+».


Зная направление усилия S1, мы можем представить, что из себя представляет 1-ый стержень.

Расчет металлической фермы

Поскольку одно усилие было направлено в узел (узел 1), то и второе усилие будет направлено в узел (узел 2). Значит наш стержень старается растянуться, а значит он сжат.

Далее рассмотрим узел 2. В нем было 3 неизвестных величины, но поскольку мы уже нашли значение и направление S1, то остается только 2 неизвестных величины.

Расчет металлической фермы

Опять же составим уравнения на оси х и у:

-100 + 400 – sin33,69 * S3 = 0 - на ось у
- S3 * cos33,69 + S4 = 0 - на ось х

Из 1-ого уравнения S3 = 540,83 кг (стержень №3 сжат).

Из 2-ого уравнения S4 = 450 кг (стержень №4 растянут).

Рассмотрим 8-ой узел:

Расчет металлической фермы

Составим уравнения на оси х и у:

-100 + S13 = 0 - на ось у
-S11 * cos7,59 = 0 - на ось х

Отсюда:

S13 = 100 кг (стержень №13 сжат)
S11 = 0 (нулевой стержень, никаких усилий в нем нету)

Рассмотрим 7-ой узел:

Расчет металлической фермы

Составим уравнения на оси х и у:

-100 + 400 – S12 * sin21,8 = 0 - на ось у
S12 * cos21,8 + S10 = 0 - на ось х

ИЗ 1-ого уравнения находим S12:

S12 = 807,82 кг (стержень №12 сжат)

Из 2-ого уравнения находим S10:

S10 = 750,05 кг (стержень №10 растянут)

Дальше рассмотрим узел №3. Насколько мы помним 2-ой стержень у нас нулевой, а значит рисовать его не будем.

Расчет металлической фермы

Уравнения на оси х и у:

-200 + 540,83 * sin33,69 – S5 * cos56,31 + S6 * sin7,59 = 0 - на ось y
540,83 * cos33,69 – S6 * cos7,59 + S5 * sin56,31 = 0 - на ось х

А здесь нам уже понадобится алгебра. Я не буду подробно расписывать методику нахождения неизвестных величин, но суть такова – из 1-ого уравнения выражаем S5 и подставляем ее во 2-ое уравнение.

По итогу получим:

S5 = 360,56 кг (стержень №5 растянут)
S6 = 756,64 кг (стержень №6 сжат)

Рассмотрим узел №6:

Расчет металлической фермы

Составим уравнения на оси х и у:

-200 – S8 * sin7,59 + S9 * sin21,8 + 807,82 * sin21,8 = 0 - на ось у
S8 * cos7,59 + S9 * cos21,8 – 807,82 * cos21,8 = 0 - на ось х

Так же, как и в 3-ем узле найдем наши неизвестные.

S8 = 756,64 кг (стержень №8 сжат)
S9 = 0 кг (стержень №9 нулевой)

Рассмотрим узел №5:

Расчет металлической фермы

Составим уравнения:

-200 + S7 – 756,64 * sin7,59 + 756,64 * sin7,59 = 0 - на ось у
756,64 * cos7,59 – 756,64 * cos7,59 = 0 - на ось х

Из 1-ого уравнения находим S7:

S7 = 200 кг (стержень №7 сжат)

В качестве проверки наших расчетов рассмотрим 4-ый узел (усилий в стержне №9 нету):

Расчет металлической фермы

Составим уравнения на оси х и у:

-200 + 360,56 * sin33,69 = 0 - на ось у
-360,56 * cos33,69 – 450 + 750,05 = 0 - на ось х

В 1-ом уравнении получается:

0=0;

Во 2-ом уравнении:

0=0,05;

Данная погрешность допустима и связана скорее всего с углами (2 знака после запятой вместо 3-ех).

По итогу у нас получатся следующие значения:

Расчет металлической фермы

Решил перепроверить все наши расчеты в программе и получил точно такие же значения:

Расчет металлической фермы

Подбор сечения элементов фермы

При расчете металлической фермы после того, как все внутренние усилия в стержнях найдены, мы можем приступать к подбору сечения наших стержней.

Для удобства все значения сведем в таблицу.

Расчет металлической фермы

Для расчетов нам понадобится не фактическая длина, а расчетная. Расчетную длину мы сможем найти в СНиП II-23-81* «Стальные конструкции». Таблица приведена ниже:

Расчет металлической фермы

Как видно из таблицы, мы будем проверять стержень фермы в двух направлениях:

- в плоскости фермы

- из плоскости фермы (перпендикулярно плоскости фермы)

При длине гаража в 9 метров мы поставим 4 фермы через 3 метра, а значит геометрическая и расчетная длина стержней из плоскости фермы будет 3 метра.

Дальше, в зависимости от того сжат стержень или нет, по формуле мы рассчитываем необходимую площадь поперечного сечения.

При расчете сжатых стержней мы пользуемся формулой (необходимая площадь стержня):

Расчет металлической фермы

По данной формуле можно рассчитать в этом онлайн расчете.

А также проверяем наш стержень на максимальную гибкость. Как правило, максимальная гибкость не должна быть больше 100-150.

Расчет металлической фермы

Где lx – расчетная длина в плоскости фермы

Ly – расчетная длина из плоскости фермы

Ix – радиус инерции сечения вдоль оси х

Iy – радиус инерции сечения вдоль оси у

При расчете растянутых стержней мы пользуемся следующей формулой (необходимая площадь стержня):

Расчет металлической фермы

Данной формулой можно воспользоваться в онлайн расчете растянутых элементов.

Например, два спаренных уголка 32х3 выдержат усилие равное 3.916*2 = 7,832 т.

Расчет металлической фермы